이라는 댓글이 달리고, 도전 과제(?)로 인식하여 새벽에 고민하며 작도해 본 결과 다행히도 성공하였기에 그 결과물을 업로드하려다
어찌저찌하여 새로 게시물을 작성하게 되었습니다. 그러나 수학 비전공자이기에 '아는 것'이 없어서 채워 넣을 내용이 참으로 부족한 점
죄송하게 생각합니다. 푸리에 급수에 대하여 찾아본 자료 중 두 곳을 출처란에 링크시켰고요. 그림 몇 개 따왔습니다.
만드느라 고생 좀 했네요;; 만들어내기 전에는 정말 어려웠는데, 성공하고나니 쉬운 작업이었군요;; 단지 컴퓨터가 구닥다리인데다가 꽤나 높은
해상도에 미칠듯한 frame rate 및 제법 긴 재생시간이 맞물려서 그런지 '움짤' 제작 중 메모리 부족으로 컴퓨터가 몇 번이나 먹통이 되고
(욕심만 앞섰나 봅니다;;) 어찌저찌 해서 간신히 만들어내게 되었네요. (그런데 기껏 만들고나니 5MB 이상은 안올라가서 축소시켰다는… ;;)
많은 분들 보시라고 올릴거라 색깔 예쁘게 넣느라…, 원들이 돌아가는 속도는 어느정도가 좋을까…, 뚝뚝 안끊겨보이고 매끄럽게 움직이게 하려면
frame rate 를 얼마나 줘야할까… 등등으로 이리 바꿨다 저리바꿨다 하고 제작 중에 컴퓨터가 몇 번 먹통되고보니 금방 날이 새더군요. ㅋㅋ
조만간 비디오 카드 업그레이드하고 램 증설해야 할 듯 싶네요. 뭐~ 그냥 개인적인 푸념 한 번 써봤습니다.
--------------- (이하의 내용은 퍼온 그림 및 기초 지식이 없다시피 한 저의 얄팍한 소견입니다.) ---------------------
----------------------------- (전공자 분들의 댓글을 통한 내용 보강을 기대합니다.) ------------------------------
다양한 주기 및 진폭의 삼각함수들만 가지고 합성하여 만들어지는 삼각파(?)의 그래프입니다.
50항 정도를 합성하니 거의 톱니모양과 다를 바 없는 형상을 갖추게 되네요.
아래의 푸리에 급수 전개로 표현된 함수식이 본 게시물의 두 번째 줄에 언급했던 도전과제인 사각파(?) 입니다.
도전 과제에 등장한 급수전개는 m = 1,2,3,4 까지 적용된 근사식이고요. 제가 움짤로 만들어낸 네 원의 움직임은 4항까지 전개한
사각파의 파형이 그려지는 모습을 기하학적으로 분해하여 드러낸 것입니다.
(m에 1,2,3,4를 대입하면 도전 과제의 함수가 나옵니다.)
제가 학교다닐적 '푸리에 급수전개를 배우긴 배웠나? 왜이리 기억이 안나는거지?' 할 정도로 기반 지식이 희미해졌는데요. 만약 그 당시에
저러한 네 원의 조화로운 움직임을 접할 기회가 있었더라면, 아마도 강렬한 지적 충격(?)을 받아 뇌리에 각인이 되어 지금껏 잊지않고
잘 기억하고 있지 않았을까? 하는 아쉬움이 남습니다.
저만 그런지는 모르겠으나 솔직히 바로 위의 시그마로 시작하는 (게다가 무한합;;) 저 딱딱한 식만 보고 곧바로 호기심이 동할 사람이 얼마나
있을까요? 저는 오늘 새벽에 네 원의 현란한 춤을 보고 '헐~ ㅅㅂ 저게 이런 거였어? 여태껏 모르고 있었네!' 라고 생각했으니까요;;
아무튼 아래의 그림들은 m 값을 늘려가며 sin함수를 첨가함에따라 스무스한 곡선이 점점 직각만으로 연결되는 선분들의 모습으로
변해가는 모습을 잘 보여주고있네요. 이런 것을 생각해내다니 수학자란 사람들은 참으로 대단한 존재입니다.
그리기도 힘든 '삼각함수'를 '무한 번' 그린 후 '합치기(합성)'까지 해서 '자 대고 찍 그으면 끝'인 '그리기 엄청 쉬운 직선(선분)'을 만들어내려고
하다니… 대체 왜 이런 얼빠진(?) 짓을 하는 것일까요? 마치 빌딩을 짓는데 옥상부터 짓기 시작해서 1층 혹은 지하주차장을 만들며 끝내는 느낌?
그런데 더 어이없는 것은 이게 써먹을 곳이 알게모르게 많다는 점입니다. (사실 제가 잘 몰라서요;; 전공자 분들이 나서실 때가…)
위 그림을 보게된 곳에 소개된 설명은 다음과 같았습니다.
푸리에 급수(Fourier Series)는 일정 부분이 반복되는 주기함수를 삼각함수의 합으로 표현하는 무한 급수이다. 푸리에 급수는 상미분방정식과 편미분방정식을 푸는데 중요한 도구가 될 수 있다. 푸리에 급수는 테일러 급수Taylor series보다도 활용범위가 넓다. 그 이유는 푸리에 급수는 불연속적인 주기함수를 표현할 수 있지만, 테일러급수는 표현할 수 없기 때문이다.
읽어봐도 잘 모르겠는데요. 아무튼 그렇다고 합니다. 다시 본론(?)으로 돌아가서 제가 아는 것 쬐금만 쓰고 마무리하자면요.
전기공학 및 전자공학에서 이 푸리에 급수가 아주 유용한 도구가 된다고 보았던 기억이 납니다. 현재 우리가 쓰고있는 전기의 송전방식은
에디슨이 제안한 직류가 아니라 테슬라의 제안을 따른 교류입니다. 송전 중의 전력 손실 및 도선 근처의 자기장 발생 문제 등에서
교류 쪽이 여러모로 유리하기에 그런 선택을 했나봅니다.
그런데 직류는 전기의 흐름이 말 그대로 직류라 일정하게 꾸준히 쭈욱~ 흐르니까 전기모터 등 컨트롤하기가 편할 겁니다.
그런데 교류는 송전선을 통해 전기를 쭉 밀어보내는 것이 아니라 앞으로 밀었다 뒤로 땡겼다 왔다갔다하는 일종의 진동(?)을 이용합니다.
벽의 콘센트에 220V 라고 써있는데요. 이게 +220V 였다가 -220V 였다가 하면서 교대로 오락가락 하는 것이지요. (초당 60번 반복)
그러니 전기 혹은 전자제품 입장에서는 전압이 올라갔다가 내려갔다가 널뛰기를 하는 셈이고 출력이 오르락 내리락 하게 될 수밖에 없습니다.
형광등이 껌뻑껌뻑거려보이는 이유가 이런 것이지요. (인간의 눈으로 감지하기 힘든 영역이라는데요. 캠코더같은 것으로 형광등을 촬영하면
frame rate 가 정확히 동기화되지 않는 이상 껌뻑임이 찍히게 될 것입니다.)
게다가 220V라는 것은 '실효전압'이라고해서 전압이 sin 곡선을 그리니까 '0V에서 최대치 311V까지 올랐다가 다시 0V'까지 떨어지는 동안의
평균전압을 의미합니다. 그러니까 만약 감전된다면 순간적으로는 311V까지 두들겨(?)맞는 셈이 되는 것이지요.
아무튼 이처럼 전압이 오르락내리락하기 때문에 불편한 점이 있는데요. 이런 sin파 모양을 띄는 전류의 흐름을 푸리에 급수 전개에 따른
식을 토대로 열심히(?) 섞어주기만하면 노력하면 노력한만큼(얼마나 많은 항을 사용하여 근사했는냐에 따라…) 직류에 가까운 전류의 흐름을
얻어낼 수 있다는 장점이 있고, 이를 실제로 우리 주변에서 알게 모르게 잘 사용하고있다는 사실을 말씀드리고 싶네요.
※ 이제 게시물의 마무리를 지을 차례인 듯 합니다. 아는 것도 없는데 그나마 아는 듯 모르는 듯 한 내용을 쓰느라 고생아닌 고생을 했지만
분명 제대로 모르고 지껄인(?) 헛소리가 있을 가능성이 충분히 높다고 봅니다. 그러니 본 게시물을 읽어주신 분들 중 부족하여 보충
해야할 내용이 있거나 잘못 되어 수정 혹은 삭제해야할 내용이 있다면 지체없이 알려주셨으면 감사하겠습니다.
또한, 저 역시 한 수 배울 수 있게끔 첨가하고 싶은 내용이 있어 댓글에 달아주신다면 정말 기쁘겠습니다. '눈요기'꺼리일 뿐 내용도
없는 글을 끝까지 읽어주셔서 감사합니다.
![[★] Fourier Series Animation using Circles 0 (축소).gif](http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201506/1433567759UEUdhsj9nLC9TyNDd4f2k.gif)
![[★] Fourier Series Animation using Circles 1 (축소).gif](http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201506/1433567762G5k3hvuLX9zeDQbYGiTfFv5ZIMxTY.gif)
![[★] Fourier Series Animation using Circles.png](http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201506/1433571871nI1pxoFdQfaqVeQoFreTMAO.png)
